一、整数乘法器
1.1 整数的概念
整数在IEEE的规定上有，短整数 short integer ，中整数 integer 和 长整数 long integer ，他们之间的关系如下：
| 整数 | 字节空间 | 取值范围 |
|---|---|---|
| 短整数 | 一个字节 | -127 ~ 127 |
| 整数 | 二个字节 | -32767~32767 |
| 长整数 | 四个字节 | -2147483647~2147483647 |
若无特殊说明，以下都以短整数举例。
四个结论：
- 短整数的最高位是符号位，正值的符号位是“0”，负值的符号位是“1”。
- 正值用原码表示，负值用补码表示。
- 正值(8’b0000_0100)“取反加一”就得到负值(8’b1111_1100) ； 同理，负值(8’b1111_1100)“取反加一”就得到正值(b’b0000_0100)。
- 8’b1000_0000既不是正数也不是负数也不是0，它是划分正值和负值的边界线。
1 | +4 即 8'b0000_0100; |
1.2 传统乘法器
在传统概念上，乘法等价于“重复几次”，也就是累加操作。比如：B=4,那么A x B等价于A重复加四次。那如果B=-4应该怎么理解呢？
先来看一组例子：1
2
3
4
5A x B = C；
3 x 4 = 12;
-3x 4 = -12;
3 x-4 = -12;
-3x-4 = 12;
其中，C的值可以看成由两部分构成：正负和数值。
撇开正负不看，乘积的数值就是A和B绝对值相乘的结果。那么乘积的正负如何确定呢？
其实正负号的运算规则和数字电路中的“异或运算”一样。
| A | B | C(A⊕B) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
其中，0表示正号，1表示负号。
因此，传统乘法器实现的大致操作如下：
- 在初始化之际，取乘数和被乘数的正负关系,然后取乘数和被乘数的正值。
- 每一次累加操作，递减一次乘数。直到乘数的值为零，表示操作结束。
- 输出结果根据正负关系取得。
其实传统的乘法器是很容易的，但是随着整数的出现，负值和正值也随着出现，这也使得设计多了一点难度。但是只要掌握负值和正值的关系以后，乘法只作正值也“无问题” ，只要在结果输出之前“下一点手脚”就行了。
1.3 传统乘法器的改进
传统的乘法器虽然简单，但是它有一个致命的问题。就是被乘数越大就越消耗时钟。那么要解决这个问题就要了解为什么会产生这个问题。还是举例来说：
假设A=10 , B=20 , A x B ，那么时钟的消耗至少需要 20个，因为A值需要累加20次才能得到结果。回顾一下乘法法则：A x B = B x A。如果以B作为基础，那么B值只需要累加10次就能得到结果，这样就可以节省时钟的消耗。
因此我们可以这样改进：在进行累加操作之前，增加一个比较步骤。如果被乘数小于乘数，那么被乘数和乘数互换。1
{Multiplier , Multiplicand} = Multiplicand < Multiplier ? {Multiplicand ，Multiplier} : {Multiplier ，Multiplicand}；
于是,改进版传统乘法器实现的大致操作如下：
- 在初始化之际，取乘数和被乘数的正负关系，然后取被乘数和乘数的正值。
- 乘数和被乘数比较，如果被乘数小于乘数，结果乘数和被乘数互换。
- 每一次累加操作，递减一次乘数。直到乘数的值为零，表示操作结束。
- 输出结果根据正负关系取得。
传统的乘法器无论如何改进也好，当遇见如 127 x 127 的乘数和被乘数，咋样也看不出什么可以优化的地方…
1.4 补码的意义
上面也说到过一点，就是实现正数和负数之间的转换，也就是说使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则。
另外，还有一点就是使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计。
